ε !
Aufgabe 3 (5 + 5 Punkte) Eine Teilmenge K ⊂ M eines topologischen Raums (M, T ) heißt kompakt, falls aus jeder offenen Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann.
Genauer ist K kompakt, falls folgendes gilt:
www.mathematik.uni-mainz.deε !
Problem 3 (5 + 5 points) A subset K ⊂ M of a topological space (M, T ) is called compact, if from any open covering of K one can choose a finite subcovering.
More precisely, K is compact if the following holds true:
www.mathematik.uni-mainz.deD.h., bei der Schreibweise A ⊂ B ist Gleichheit A = B erlaubt.
Aufgabe 1 (5 Punkte) Eine Topologie auf einer nichtleeren Menge M ist ein System von Teilmengen T ⊂ P(M) von M , mit den folgenden Eigenschaften:
(i) ∅ ∈ T , M ∈ T , (ii) A, B ∈ T =⇒ A ∩B ∈ T (d.h., T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten), (iii) {Aα}α∈I ⊂ T =⇒ ⋃ α∈I Aα ∈ T (d.h., T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen).
www.mathematik.uni-mainz.deFor proper inclusions we shall write A $ B.
Problem 1 (5 points) A topology on a non empty set M is a system of subsets T ⊂ P(M) of M with the following properties:
(i) ∅ ∈ T , M ∈ T , (ii) A, B ∈ T =⇒ A ∩B ∈ T (i.e., T is closed under finite intersections), (iii) {Aα}α∈I ⊂ T =⇒ ⋃ α∈I Aα ∈ T (i.e., T is closed under arbitrary unions).
www.mathematik.uni-mainz.dekompakt impliziert abgeschlossen und beschra ̈ nkt, b ) :
abgeschlossen und beschränkt impliziert kompakt Dabei heißt eine Teilmenge A eines topologischen Raums (M, T ) abgeschlossen, falls ihr Komplement M\A offen ist.
Hinweis:
www.mathematik.uni-mainz.decompact implies closed and bounded, b ) :
closed and bounded implies compact Here, a subset A of a topological space (M, T ) is called closed if its complement M\A is open.
Hint :
www.mathematik.uni-mainz.deDies kann für die Interpretation der PCA-Ergebnisse nützlich sein.
Wenn die Mehrheit der Varianz von wenigen Eigenwerten erfasst wird (die jeweils Bändern im Ausgabe-Raster entsprechen), kann es angebracht sein, diese Teilmenge von Bändern in einer nachfolgenden Analyse zu verwenden, da durch sie möglicherweise die Mehrheit der Interaktionen innerhalb des ursprünglichen Multiband-Datasets erfasst wird.
Bei der Bestimmung der prozentualen Varianz, die von den einzelnen Eigenwerten erfasst wird, ist die Summe der Eigenwerte in die folgende Formel einzugeben:
resources.arcgis.comThis can be useful to help interpret the results of PCA.
If a few eigenvalues (each corresponding to bands in the output raster) capture the majority of the variance, then it may be adequate to use this subset of bands in a subsequent analysis since they may capture the majority of the interactions within the original multiband dataset.
When determining the percent variance each eigenvalue captures, the sum of eigenvalues is entered into the following formula: (eigenvalue * 100)/Sum.
resources.arcgis.comFu ̈ r die umgekehrte Richtung nehmen Sie an, es ga ̈ be eine offene U ̈ berdeckung der abgeschlossenen und beschra ̈ nkten Menge K, aus der keine endliche Teilu ̈ berdeckung ausgewa ̈ hlt werden kann.
Zeigen Sie, dass daraus folgt, dass es beliebig kleine Teilmengen von K gibt, die ebenfalls nicht von endlich vielen offenen Mengen der ursprünglichen Überdeckung überdeckt werden und finden Sie einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit von K.
Sie dürfen den Satz von Bolzano-Weierstraß verwenden, der besagt, dass in (Rn,On) jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt und jede Cauchyfolge konvergiert.
www.mathematik.uni-mainz.deTo show the converse, assume there is an open covering of the closed bounded set K from which one cannot choose a finite subcovering.
Show that then there are arbitrarily small subsets of K which cannot be covered by finitely many open sets from the initial covering and deduce a contradiction to the closedness of K!
You are allowed to use the Bolzano-Weierstraß theorem which states that in (Rn,On) any bounded sequence has a convergent subsequence and every Cauchy sequence converges.
www.mathematik.uni-mainz.deGehen Sie fu ̈ r Teil a ) induktiv wie in Teil b ) vor und nutzen Sie Aufgabe 2. ( 4 Punkte ) Aufgabe 4.
Sei V ⊆ Rn eine algebraische Teilmenge.
www.mathematik.uni-regensburg.deFor the proof of part a ) use induction as in part b ) and make use of exercise 2. ( 4 points ) Exercise 4.
Let V ⊆ Rn be an algebraic subset.
www.mathematik.uni-regensburg.deNeben diesen Teilmengen gibt es auch Bestrebungen, Programmiersprachen durch bestimmte Erweiterungen für die Entwicklung von sicherheitskritischer Software geeigneter zu machen.
In dieser Arbeit wurden nach Identifizierung existierender Teilmengen von C, C++ und Ada einige ausgewählte hinsichtlich folgender Aspekte untersucht:
Einschränkungen
www11.informatik.uni-erlangen.deBesides imposing restrictions there are attempts to make the languages more suitable for the development of safety critical software by making extensions to them.
In this work the subsets of of C, C++ and Ada were identified and the the following aspects examined:
Restrictions
www11.informatik.uni-erlangen.deα1, . . ., αm ∈ I, sodass K ⊂ Uα1 ∪ · · · ∪ Uαm.
Zeigen Sie, dass eine Teilmenge K ⊂ Rn des topologischen Raums (Rn,On) genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist! a):
kompakt impliziert abgeschlossen und beschränkt, b):
www.mathematik.uni-mainz.deWhenever { Uα } α ∈ I ⊂ T is a family of open subsets of M such that K ⊂ ⋃ α ∈ I Uα, then there exist α1, . . ., αm ∈ I, such that K ⊂ Uα1 ∪ · · · ∪ Uαm.
Show that a subset K ⊂ Rn of the topological space (Rn,On) is compact if and only if it is closed and bounded! a):
compact implies closed and bounded, b):
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